Tích Phân Trị Tuyệt Đối

  -  

Bài viết lí giải phương thức tính tích phân hàm cất cực hiếm tuyệt vời, đây là dạng tân oán hay gặp gỡ vào chương trình Giải tích 12 chương 3.

1. Pmùi hương pháp tính tích phân hàm đựng quý hiếm tốt đốiMuốn tính tích phân $I = int_a^b | f(x)|dx$, ta thức hiện theo các bước sau:+ Xét dấu hàm $f(x)$ bên trên đoạn $$ để mở vết quý hiếm tuyệt đối hoàn hảo.+ Áp dụng công thức: $int_a^b | f(x)|dx$ $ = int_a^c | f(x)|dx + int_c^b | f(x)|dx.$2. Một số ví dụ minc họa

Ví dụ 1: Tính tích phân: $I = int_ – 3^3 left dx.$

Ta có: $I = int_ – 3^3 dx$ $ = int_ – 3^ – 1 left( x^2 – 1 ight) dx$ $ + int_ – 1^1 left( – x^2 + 1 ight) dx$ $ + int_1^3 left( x^2 – 1 ight) dx$ $ = left. left( fracx^33 – x ight) ight|_ – 3^ – 1$ $ + left. left( – fracx^33 + x ight) ight|_ – 1^1$ $ + left. left( fracx^33 – x ight) ight|_1^3$ $ = – frac13 + 1 + 9 – 3 – frac13 + 1$ $ – frac13 + 1 + 9 – 3 – frac13 + 1$ $ = frac443.$Vậy $I = int_ – 3^3 left dx = frac443.$

lấy một ví dụ 2: Tính tích phân: $I = int_0^2 x^2 – 4x + 3 ight dx.$

Ta tất cả bảng xét dấu:

*

Nên $I = int_0^2 x^2 – 4x + 3 ight dx$ $ = int_0^1 left( x^2 – 4x + 3 ight) dx$ $ + int_1^2 left( – x^2 + 4x – 3 ight) dx$ $ = left. left( fracx^33 – 2x^2 + 3x ight) ight|_0^1$ $ + left. left( – fracx^33 + 2x^2 – 3x ight) ight|_1^2 = 2.$Vậy $I = int_0^2 dx = 2.$

Ví dụ 3: Tính tích phân: $I_(m) = int_0^1 dx.$

Đặt $f(x) = x^2 – 2x + m$ có $Delta’ = 1 – m.$+ Khi $m ge 1$ $ Leftrightarrow Delta’ = 1 – m le 0$ $ Rightarrow f(x) ge 0$ $forall x in R.$Do đó $I_(m) = int_0^1 left dx$ $ = int_0^1 left( x^2 – 2x + m ight) dx$ $ = left. left( fracx^33 – x^2 + mx ight) ight|_0^1$ $ = m – frac23.$+ Khi $0 Delta’ = 1 – m > 0\f(0) = m > 0\f(1) = m – 1 endarray ight.$Phương thơm trình $f(x) = m$ bao gồm nhị nghiệm $x_1 Do kia ta có $0 Hay ta có:

*

Nên: $I_(m) = int_0^1 x^2 – 2x + m ight dx$ $ = int_0^x_1 left( x^2 – 2x + m ight) dx$ $ + int_x_1^1 left( – x^2 + 2x – m ight) dx$ $ = left. left( fracx^33 – x^2 + mx ight) ight|_0^x_1$ $ + left. left( – fracx^33 + x^2 – mx ight) ight|_x_1^1$ $ = 2left< fracx_1^33 – x_1^2 + mx_1 ight> + frac23 – m.$Thế $x_1 = 1 – sqrt 1 – m $ vào ta có:$I_m = frac23(1 – sqrt 1 – m )$$left< (1 – sqrt 1 – m )^2 – 3(1 – sqrt 1 – m ) + 3m ight>$ $ + frac23 – m$ $ = frac23(1 – sqrt 1 – m )(2m – 1 + sqrt 1 – m )$ $ + frac23 – m.$+ Khi $m le 0$ thì $left{ eginarray*20lf(0) = m le 0\f(1) = m – 1 le 0endarray ight.$Do đó ta có $x_1 le 0 Nên $I_m = int_0^1 left( – x^2 + 2x – m ight) dx$ $ = left. left( frac – x^33 + x^2 – mx ight) ight|_0^1$ $ = frac23 – m.$

lấy một ví dụ 4: Tính tích phân: $I = int_0^2 x^2 – x ight dx.$

Ta có:

*

Do đó: $I = int_0^2 left dx$ $ = int_0^1 left( – x^2 + x ight) dx$ $ + int_1^2 left( x^2 – x ight) dx$ $ = left. left( – fracx^33 + fracx^22 ight) ight|_0^1$ $ + left. left( fracx^33 – fracx^22 ight) ight|_1^2 = 1.$

lấy ví dụ như 5: Tính tích phân: $I(alpha ) = int_0^1 x |x – altrộn |dx.$

+ Khi $altrộn le 0$ thì $x – alpha ge 0$ $forall x in <0;1>.$Vậy $I(altrộn ) = int_0^1 x |x – altrộn |dx$ $ = left. left( fracx^33 – fracaltrộn x^22 ight) ight|_0^1$ $ = frac13 – fracaltrộn 2.$+ Khi $0 + Khi $altrộn ge 1$ thì $x – altrộn le 0$ $forall x in <0;1>.$Vậy $I(altrộn ) = int_0^1 left( – x^2 + altrộn x ight) dx$ $ = left.


Bạn đang xem: Tích phân trị tuyệt đối


Xem thêm: Vật Sáng Ab Đặt Vuông Góc Với Trục Chính Của Một Thấu Kính Hội Tụ Và Cách Thấu Kính 20Cm


Xem thêm: Phân Tích 14 Câu Tiếp Bài Trao Duyên (Trích Truyện Kiều), Dàn Ý Phân Tích 14 Câu Thơ Giữa Trao Duyên


left( – fracx^33 + fracaltrộn x^22 ight) ight|_0^1$ $ = fracalpha 2 – frac13.$

Ví dụ 6: Cho $f(x) = 3x^3 – x^2 – 4x + 1$ và $g(x) = 2x^3 + x^2 – 3x – 1.$a) Giải bất phương trình $f(x) ge g(x).$b) Tính $I = int_ – 1^2 | f(x) – g(x)|dx.$

a) Ta có: $f(x) ge g(x)$ $ Leftrightarrow f(x) – g(x) ge 0$ $ Leftrightarrow x^3 – 2x – x + 2 ge 0$ $ Leftrightarrow (x – 1)left( x^2 – x – 2 ight) ge 0$ $ Leftrightarrow left( x^2 – 1 ight)(x – 2) ge 0$ $ Leftrightarrow – 1 le x le 1$ hoặc $x ge 2.$b) Ta có: (dựa vào câu a, ta khẳng định được $f(x) – g(x)$ âm, dương Khi nào).

*

Vậy $I = int_ – 1^2 | f(x) – g(x)|dx$ $ = int_ – 1^1 | f(x) – g(x)|dx$ $ + int_1^2 | f(x) – g(x)|dx$ $ = intlimits_ – 1^1 left< fleft( x ight) – gleft( x ight) ight>dx $ $ – intlimits_1^2 left< fleft( x ight) – gleft( x ight) ight>dx $ $ = int_ – 1^1 left( x^3 – 2x^2 – x + 2 ight) dx$ $ – int_1^2 left( x^3 – 2x^2 – x + 2 ight) dx$ $ = left. left( fracx^44 – frac2x^23 – fracx^22 + 2x ight) ight|_ – 1^1$ $ – left. left( fracx^44 – frac2x^23 – fracx^22 + 2x ight) ight|_1^2 = frac3712.$

Ví dụ 7: Tính tích phân: $I = int_ – pi ^pi sqrt 1 – sin x dx.$

Ta có: $I = int_ – pi ^pi sqrt left( sin fracx2 – cos fracx2 ight)^2 dx$ $ = int_ – pi ^pi sin fracx2 – cos fracx2 ight dx$ $ = sqrt 2 int_ – pi ^pi left dx.$Đổi biến: đặt $t = fracx2 + fracpi 4 Rightarrow dt = fracdx2.$Đổi cận: $left< eginarray*20lx = pi \x = – pi endarray ight.$ $ Rightarrow left< eginarray*20lt = frac3pi 4\t = – fracpi 4endarray ight.$Ta thấy: với $ – fracpi 4 le t le fracpi 2$ thì $cos t ge 0$, với $fracpi 2 le t le frac3pi 4$ thì $cos t Suy ra: $I = 2sqrt 2 int_ – fracpi 4^frac3pi 4 | cos t|dt$ $ = 2sqrt 2 int_ – fracpi 4^fracpi 2 cos tdt – 2sqrt 2 int_fracpi 2^frac3pi 4 cos tdt $ $ = 2sqrt 2 sin left. t ight|_ – fracpi 4^fracpi 2 – 2sqrt 2 sin left. t ight|_fracpi 2^frac3pi 4 = 4sqrt 2 .$

lấy một ví dụ 8: Tính tích phân: $I = int_ – fracpi 2^fracpi 2 | sin x|dx.$

Ta có: $I = int_ – fracpi 2^fracpi 2 | sin x|dx$ $ = int_ – fracpi 2^0 ( – sin x) dx + int_0^fracpi 2 sin xdx$ $ = cos left. x ight|_ – fracpi 2^0 + left. ( – cos x) ight|_0^fracpi 2$ $ = 1 + 1 = 2.$

lấy ví dụ 9: Tính $I = int_fracpi 4^frac3pi 4 | sin 2x|dx.$

Đặt $t = 2x Rightarrow dt = 2dx.$Đổi cận $left< eginarray*20lx = frac3pi 4\x = fracpi 4endarray ight.$ $ Rightarrow left< eginarray*20lt = frac3pi 2\t = fracpi 2endarray ight.$

*

Do đó: $I = frac12int_fracpi 2^frac3pi 2 | sin t|dt$ $ = frac12int_fracpi 2^pi | sin t|dt + frac12int_pi ^frac3pi 2 | sin t|dt$ $ = frac12int_fracpi 2^pi sin t dt – frac12int_pi ^frac3pi 2 sin tdt$ (vì $fracpi 2 le t le pi $ thì $sin t ge 0$, $fracpi 2 le t le frac3pi 2$ thì $sin t le 0$).$I = – frac12cos left. t ight|_fracpi 2^pi + frac12cos left. t ight|_pi ^frac3pi 2 = 1.$

lấy ví dụ 10: Tính tích phân: $I = int_fracpi 6^fracpi 3 sqrt ã ^2x + cot ^2x – 2 dx.$

Ta có: $sqrt chảy ^2x + cot ^2x – 2 $ $ = sqrt ( ung x + cot x)^2 $ $ = | an x – cot x|$ $ = left| fracsin xcos x – fraccos xsin x ight|$ $ = left| fracsin ^2x – cos ^2xsin xcos x ight|$ $ = left| fraccos ^2x – sin ^2xsin xcos x ight|$ $ = 2left| fraccos 2xsin 2x ight|.$Ta có: $fracpi 6 le x le fracpi 3$ $ Rightarrow fracpi 3 le 2x le frac2pi 3.$Do đó: $sin 2x ge 0$, $left{ eginarraylcos 2x le 0: mkhi:x in left< fracpi 4;fracpi 3 ight>\cos 2x ge 0: mkhi:x in left< fracpi 6;fracpi 4 ight>endarray ight.$Vậy $I = int_fracpi 6^fracpi 4 2 left| fraccos 2xsin 2x ight|dx$ $ + int_fracpi 4^fracpi 3 2 left| fraccos 2xsin 2x ight|dx$ $ = int_fracpi 6^fracpi 4 2 fraccos 2xsin 2xdx – int_fracpi 4^fracpi 3 2 fraccos 2xsin 2xdx$ $ = int_fracpi 6^fracpi 4 2 fracd(sin 2x)sin 2x – int_fracpi 4^fracpi 3 2 fracd(sin 2x)sin 2x$ $ = ln left. ight|_fracpi 6^fracpi 4 – left. sin 2x ight|_fracpi 4^fracpi 3$ $ = left( ln 1 – ln fracsqrt 3 2 ight) – left( ln fracsqrt 3 2 – ln 1 ight)$ $ = – 2ln fracsqrt 3 2.$

lấy ví dụ 11: Tính tích phân: $I = int_0^pi sqrt 1 + cos 2x dx.$

Ta có: $I = int_0^pi sqrt 1 + cos 2x dx$ $ = int_0^pi sqrt 2cos ^2x dx$ $ = int_0^pi sqrt 2 |cos x|dx$ $ = sqrt 2 int_0^fracpi 2 cos xdx – sqrt 2 int_fracpi 2^pi cos xdx$ $ = sqrt 2 sin left. x ight|_0^fracpi 2 – sqrt 2 sin left. x ight|_fracpi 2^pi $ $ = 2sqrt 2 .$

lấy ví dụ như 12: Tính tích phân: $I = int_0^pi | cos x|sqrt sin x dx.$

Ta có: $I = int_0^pi | cos x|sqrt sin x dx$ $ + int_fracpi 2^pi | cos x|sqrt sin x dx$ $ = int_0^fracpi 2 cos x.(sin x)^frac12dx$ $ – int_fracpi 2^pi cos x.(sin x)^frac12dx$ $ = int_0^fracpi 2 (sin x)^frac12 d(sin x)$ $ – int_fracpi 2^pi (sin x)^frac12 d(sin x)$ $ = frac23left. (sin x)^frac32 ight|_0^fracpi 2 – frac23left. (sin x)^frac32 ight|_fracpi 2^pi $ $ = frac23 + frac23 = frac43.$

lấy một ví dụ 13: Tính tích phân: $I = int_ – 1^1 fracx^4 – x^2 – 12 .$

Vì hàm số $f(x) = fracx^4 – x^2 – 12$ là hàm số chẵn, tiếp tục trong $< – 1;1>.$Suy ra: $I = int_ – 1^1 fracxx^4 – x^2 – 12 $ $ = 2int_0^1 fracdxx^4 – x^2 – 12 $ $ = 2int_0^1 fracxdxx^4 – x^2 – 12 .$Đặt $t = x^2 Rightarrow dt = 2xdx.$Đổi cận $left< eginarray*20lx = 1\x = 0endarray ight.$ $ Rightarrow left< eginarray*20lt = 1\t = 0endarray ight.$Vậy $I = int_0^1 fracdtt^2 – t – 12 $ $ = int_0^1 fracdt(t – 4)(t + 3) $ $ = frac17int_0^1 left( frac1t – 4 – frac1t + 3 ight) dt$ $ = frac17ln left. ight|_0^1$ $ = frac27ln frac34.$